中空方阵公式图解（深入解读中空方阵）

作者： 有没有人敢陪我到老2023-09-21 09:50:38

深入解读中空方阵

什么是中空方阵？

中空方阵是一种逐步包含小规模方阵的数学结构，也称为螺旋方阵或希尔伯特方阵。从外观上看，中空方阵就像一张由$n$个小正方形按既定规律排列而成的大正方形，其中每一个小正方形都包含有一个不重复、唯一的编号，可指定为$(i,j)$，代表该方格所在的行和列，如下图所示。

\"fangzhen\"

如何生成中空方阵？

通常，可以使用以下方式生成$n$级中空方阵$H_n$： 1. 初始化$H_1=[1]$，即将编号$1$的方格中填写数字$1$。 2. 如果已经生成了第$k-1$级中空方阵$H_{k-1}$，则可以在其基础上生成第$k$级中空方阵$H_k$： (a) 将$H_{k-1}$整体复制三次，得到一个$3 \imes 3$的矩阵，其中第一次复制的矩形框架与$H_{k-1}$完全重合，第二次复制的矩形框架比$H_{k-1}$稍微大一点，而第三次复制的矩形框架比$H_{k-1}$又稍微大一点。 (b) 将矩阵中心的方格（即第二个矩形框架内的中央方格）作为“起点”，从右上方开始顺次填写$n^2-1$个未填数字，每次顺时针旋转至下一个方格。这里所说的“下一个方格”，是指当前方格右侧、下方或左侧与当前方格相邻且未被填写的方格。当所有方格均已填写数字后，第$k$级中空方阵$H_k$就生成了。 下图展示了$n=1$至$n=3$级中空方阵的生成过程及最终结果。 \"chouxiang\"

中空方阵的性质

中空方阵有多项性质，其中一些具有独特的数学意义和应用价值。 1. 对称性：中空方阵是对称的，即左右镜像、上下镜像和中心对称均得到同一图形。这一性质说明了中空方阵的排列方式，是非常精妙和完美的。 2. 斜对角线规律：中空方阵上的两条斜对角线上的元素之和相等，且其和等于$n^3$，即$H_n(1,1)+H_n(2,2)+...+H_n(n,n)=H_n(1,n)+H_n(2,n-1)+...+H_n(n,1)=n^3$,其中$H_n(i,j)$表示第$i$行、第$j$列的方格上所填数字。 3. 可递归性：中空方阵内部的小方阵也是中空方阵。这种性质使得中空方阵具有良好的递归结构，可以使用分治或动态规划等算法完成对其的操作。 4. 具有填补空缺的作用：可以利用中空方阵的奇妙布局，来解决各种填补空缺的问题。一些统计学、图像处理、密码学和网络安全等领域，都利用中空方阵进行数据编码、信息隐藏和密码传递。

总结

中空方阵是一个具有许多奇妙性质和递归特点的数学结构，可以作为一种有趣的数学玩具，也可在实际生活中发挥出其匪夷所思的应用效果。对于一个数学工作者来说，探索中空方阵的更多性质，不仅可以拓展思路，还有可能发掘出一些尚未被发现的奇妙现象和规律。

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